点集拓扑知识索引
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主线
参考阅读 讲义: 拓扑学 - 香蕉空间 及《点集拓扑与代数拓扑引论》（21世纪数学规划教材·数学基础课系列）
基本概念
- 拓扑空间（开集）
- 生成（离散拓扑，平凡拓扑，Sierpiński 空间，有限补拓扑，子空间拓扑，和/不交并拓扑 $\coprod$）
- 度量空间（度量，开球，标准拓扑，球面 $\mathbb{S}^n$，闭球体 $D^n$，球极投影）
- 基本术语（闭集，开覆盖，邻域，内部 $A^{\circ}$，内点，聚/极限点，导集 $A'$，闭包 $\bar{A}$，边界 $\partial A$，稠密，可分，细，粗）
- 映射（连续映射，同胚 $\cong$，嵌入 $\hookrightarrow$，开映射，粘贴引理）
- 积空间（积空间 $X\times Y$，环面）
- 空间上的空间
- 商空间（商映射，实射影空间 $\operatorname{\mathbb{R}P}^n$）
性质
- 可数性（邻域基，第一可数空间；拓扑基，第二可数空间）
- 分离性（T₀/Kolmogorov 空间，T₁ 空间，T₂/Hausdorff 空间，拓扑流形，T₃/正则空间，Sorgenfrey 平面，T₄/正规空间，Urysohn 度量化定理）
- 连通性（连通，局部连通，道路连通，拓扑学家的正弦曲线）
- 紧性（Tychonoff 定理，仿紧，列紧）
- 维数（Lebesgue 覆盖定理，拓扑维数 $\dim$，Menger-Nöbeling 嵌入定理，Hausdorff/分形维数，分形）