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群论知识索引

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主线

参考阅读《抽象代数Ⅰ》《抽象代数Ⅱ》（北京大学数学教学系列丛书）

基本概念

  • 基本的定义（群及其类似物，子群 $\leq$，陪集，正规子群 $\unlhd$，单群，商群 $/$，生成 $<>$，同构 $\cong$，同态，直和 $\oplus$，直积 $\prod$）和定理（Lagrange，Cayley，同态基本定理，第一、二同构定理）
  • 常见的群（循环群 $Z_n$，二面体群 $D_{2n}$，置换群 $S_n$，交错群 $A_n$）

群的性质

  • 自由群表示（自由群，万有性质）
  • 群在集合上的作用（轨道 $Orb$，稳定子群 $Stab$，Pólya 计数法，共轭作用，Sylow 定理）：群论（一）
  • 次正规群列（换位子 $[a, b]$，半直积 $\rtimes$，Schreier 子群引理，可解群，导群 $G'$，合成群列，Schreier 定理，Jordan-Hölder 定理）：见群论（二）
  • 特征（内自同构 $Inn$，（外）自同构 $Aut$，特征子群 $char$，特征单群）

Galois 理论

  • 域论（扩张，特征，正规扩张，可分扩张），Galois 理论（Galois 群，根式可解性判断，Abel-Ruffini 定理）：见群论（三）

群表示论

有限群

有限群优雅而美好。

打算开一个系列，阅读有限单群分类定理相关证明。