范畴论知识索引

2025-07-22·2 分钟

主线

参考阅读 Tom Leinster 的 Basic Category Theory，Steve Awodey 的 Category Theory（尚未找到中译本）及李文威的《代数学方法：卷一》

基本的概念
- 定义（范畴，对象 $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$，态射 $\operatorname{Mor}(\mathcal{C}), \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y), X\xrightarrow{f}Y$，来源/域 $s, \operatorname{dom}$，目标/陪域 $t, \operatorname{cod}$，复合 $\circ$，恒等态射 $1_A$）
- 自同态 $\operatorname{End}_{\mathcal{C}}(X)$
- 子范畴
常见的范畴（集合与函数 $\mathrm{Sets}$，偏序集与单调函数 $\mathrm{Pos}$，关系 $\mathrm{Rel}$，有限范畴，离散范畴）
构造（积 $\times, \prod$，对偶 $\mathcal{C}^{op}$，箭头 $\mathcal{C}^\to$，切片 $\mathcal{C}/C$，余切片 $C/\mathcal{C}$）
自由范畴（Kleene 闭包）
技术细节（大、小、局部小）

函子（协/共变函子，反变函子）
同构（函子间同构 $\stackrel{\sim}{\to}$，拟逆函子，同构 $\cong, \operatorname{Isom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$，逆，Cayley 定理）
- 自同构 $\operatorname{Aut}_{\mathcal{C}}(X)$
忘性函子
自然变换（$F\Longrightarrow G$，横，纵合成）
泛性质的始对象表述（始对象 $0$，终对象 $1$）