群论（三）：高次方程与 Galois 理论
前置知识
- 数学分析
- 线性代数
- 群论（二）
背景
代数基本定理
一个复系数 $n$ 次多项式 $P(z)$ 恰有 $n$ 个复根（计入重数）。
只需证明非常值复系数多项式有根。以下给出 Frode Terkelsen 的一个简短初等证明。
由数学分析知 $|P(z)|$ 有最小值，若最小值非零，不妨设其为 $|P(0)| = 1$
设 $P(z) = 1+az^n+z^{n+1}Q(z), a\neq 0$
取 $\omega$，使 $a\omega^n < 0, |\omega Q(\omega)| < \frac{1}{2}|a|$，则有 $|P(\omega)|\leq 1+\frac{1}{2}|a|\omega^n<1$，矛盾。
求根公式
对于一、二次方程来说，求根公式（使用初等运算的复合给出所有根的公式）较为简单。
Gerolamo Cardano 在 1545 年出版的著作 Ars Magna 中第一次给出三次方程的完整通解。考虑换元将原方程化为 $x^3+px+q=0$，令 $x=u+v$，此时只需同时满足
$$\left\{\begin{matrix} u^3+v^3=-q \\ 3uv=-p \end{matrix}\right.$$
如此转化成了二次方程。
此后，其学生 Lodovico Ferrari 提出了四次方程的解法。换元将原方程化为 $x^4+px^2+qx+r=0$，再化为 $(x^2+p+u)^2 = (p+2u)x^2-qx+(p^2-r+u^2+2pu)$，辅助变量 $u$ 使得右边为完全平方式。$\Delta = 0$ 是一个三次方程。
之后 Niels Abel 严格证明了五次方程不存在通用根式解，Évariste Galois 彻底解决了任意次方程的可解性问题。
域论
基本定义
域 $F$ 是一个配备两种运算的集合，满足：
- $(F, +)$ 是交换群，记单位元为 0
- $(F\setminus \{0\}, \times)$ 是交换群，记单位元为 1
- 分配律 $a(b+c)=ab+ac$
子域、同态的定义是平凡的。
对域 $E$，子域 $F\subseteq E$，称前者是后者的扩域，$E/F$ 是域扩张。此时，$E$ 是 $F$ 上的线性空间，记次数 $[E:F] = \dim_F E$ 为维数（允许 $\infty$）。通过取一组基 $\alpha_i\beta_j$ 可以说明 $[E:F]=[E:K][K:F]$
例如，$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的次数为 2 的扩张，基为 ${1, \sqrt{2}}$，而 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 为无限扩张。
特征
域 $F$ 的特征是使得 $n\cdot 1=0$ 成立的最小正整数 $n$，如果不存在，则称特征是 0
易说明，若特征是 0，一定存在子域同构于 $\mathbb{Q}$，否则特征一定是素数，同构于子域 $F_p = Z/pZ$，并且由 $(x+y)^p = x^p+y^p$ 有 Frobenius 自同态 $x\mapsto x^p$
全体有限的 p 进制小数构成的域。
其特征为 p
对域 $F$，$F((x))$ 是全体 $\sum_{n=k}^\infty a_nx^n, k\in\mathbb{Z}, a_n\in F$ 的域。
其特征与 $F$ 一致。
多项式
对 $\alpha\in E$ 若存在非零多项式 $f\in F[x]$ 使 $f(\alpha) = 0$，则称其为代数元，否则称为超越元。
一个代数元的极小多项式 $m_{\alpha, F}(x)$ 是一个首一、不可约、满足 $m(\alpha) = 0$ 的多项式。
对 $S\subset E$，由 $S$ 生成的域 $F$ 上的扩张 $F(S)$ 是同时包含 $F$ 和 $S$ 的最小的 $E$ 的子域。若 $S$ 为单元集，且 $E=F(S)$，称其是域 $F$ 的单扩张。考虑同态 $\varphi: F[x] \to F(\alpha), f \mapsto f(\alpha)$ 知 $[F(\alpha):F]=\deg m_{\alpha, F}$
Galois 扩张
如果域扩张 $E/F$ 满足 $E$ 是 $F[x]$ 某个元素的分裂域（即 $f$ 可以写成 $E[x]$ 中一次式的乘积），则称其为正规扩张。
如果一个不可约多项式没有重根，则称它可分。
给定域扩张 $E/F$，对 $\alpha\in E$，要么是 $F$ 上的超越元，要么是代数元且极小多项式可分，则称其为可分元。若所有元素都是可分元，则称它为可分扩张。
Galois 扩张是指正规且可分的扩张。
对 0 特征域 $F$，每个扩张 $E/F$ 都可分。
对不可约的 $f$，由于特征为 0，$f'$ 非零，从而 $gcd(f, f')=1$，$f$ 没有重根。
Galois 理论
Galois 群
Galois 理论给出了域的扩张与其自同构群的联系。
对域扩张 $E/F$，对自同构 $Aut(E)$ 中的元素 $\sigma$，称其保持 $F$，如果 $\sigma(a)=a, \forall a\in F$
以下讨论 $n$ 次首一多项式 $f\in F[x]$ 在 $E/F$ 中分裂，所有根 $\Omega = \{z_i\}$ 且 $E=F(\Omega)$
对 $\sigma\in Aut(E)$ 保持 $F$，它在 $\Omega$ 上是一个置换。
因为 $f(\sigma(z_i)) = \sigma(f(z_i)) = 0, \sigma(z_i)\in\Omega$，且 $\sigma$ 是单射。
记 Galois 群 $Gal(E/F)$ 为 $Aut(E)$ 中所有保持 $F$ 的元素构成的群。
我们可以说明单位元对应的是 $E$ 上的单位映射：
对 $n$ 归纳，$n=1$ 时 $E$ 中元素均形如 $\frac{f(z_1)}{g(z_1)}$ 知成立。又 $F(z_1, \cdots z_n) = (F(z_1))(z_2, \cdots z_n)$
进一步地，$Gal(E/F)$ 同构于 $S_n$ 的一个子群。考察
$$ \begin{aligned} \varphi \colon & Gal(E/F) \to S(\Omega),\\ &\sigma \mapsto \sigma |_\Omega \end{aligned} $$
有 $\ker\varphi = \{e\}$，从而 $Gal(E/F)\cong Im(\varphi)\leq S(\Omega)$
根式可解性
我们用代数的语言定义根式可解性。
对域 $F$ 和非常数多项式 $f\in F[x]$，对应正规扩张 $E$，如果存在一列扩张 $F=K_0\subset K_1\subset \cdots K_t$ 满足 $K_{i+1} = K_i(u)$，其中 $u^k\in K_i, k\in\mathbb{Z}^+$，且 $E\subseteq K_t$，则称 $f$ 根式可解。
对 $F\subset K\subset E$，其中 $K/F, E/F$ 是正规扩张，则对任意 $\sigma\in Gal(E/F)$，有
- $\sigma\ K = K$
- $Gal(E/K)\triangleleft Gal(E/F)$
- $Gal(E/K)/Gal(E/F)\cong Gal(F/K)$
第一个结论由定义易得。
$$ \begin{aligned} \varphi \colon & Gal(E/F) \to Gal(K/F),\\ &\sigma \mapsto \sigma |_K \end{aligned} $$
给出结论二、三。
对一列扩张 $F=K_0\subset K_1\subset \cdots K_t$ 满足 $K_{i+1} = K_i(u)$，其中 $u^{p_i}\in K_i, p\in\mathbb{P}$，且 $K_t/F$ 正规，$F$ 包含所有 $p_i$ 阶单位根。
则有子群列 $\{e\} = G_t \subset \cdots G_1\subset G_0 = Gal(K_t/F)$，其中 $G_{i+1}\triangleleft G_i$，$G_i/G_{i+1}$ 为 $\{e\}$ 或 $p_{i+1}$ 阶循环群。
令 $G_i = Gal(K_t/F)$
再由群论（二）知上述为次正规群列。
我们给出
域 $F$ 和非常数多项式 $f\in F[x]$，正规扩张 $E$，若 $f$ 根式可解，则 $Gal(E/F)$ 为可解群。
特别地，
五次方程不存在通用根式解。
此时对应的 $Gal(E/F)\cong S_n, n\geq 5$
我们知道 $S_n, n\geq 5$ 不可解，因为其子群 $A_n$ 为单群（通过说明非平凡正规子群一定包含全体三轮换），不可解。