群论（一）应用（一）：多面体对称性。

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$\mathbb{R}^3$ 上的旋转

本文中的旋转都是指 $\mathbb{R}^3$ 上的。

正交

对三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 到自身的变换，我们称保持任两点距离不变、保持原点不动的变换为正交变换。

容易验证正交变换满足 $\alpha(kv)=k\alpha(v), \alpha(v+w)=\alpha(v)+\alpha(w)$，为线性变换。

因而我们知道可以将 $\alpha(v)$ 看作 $\mathbf{M}_{\alpha} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

其中 $\mathbf{M}_{\alpha}$ 为 3×3 实矩阵。

有 $det(\mathbf{M}_{\alpha}) = \pm 1$，取 1 时即为绕原点的旋转，取 -1 时为旋转复合上一次反射变换。

实三维正交变换群记作 $O_3(\mathbb{R})$ 或 $\mathbb{O}_3$，其中行列式为 1 的那些构成的正规子群记作 $\mathbb{O}_3^+$ 或 $SO(3)$

旋转是不满足交换律的。

旋转轴

旋转轴满足：其上任何一个向量，满足 $\mathbf{M}\cdot v = v$，也就是求其特征值 $|\lambda| = 1$ 对应特征向量，易知是存在的。

或者，定义 $f(v)=\alpha(v)-v$，然后使用 Borsuk-Ulam 定理。

更多内容可参阅：四元数、拓扑（三维实射影空间、三维球面）、李群。

Plato 多面体

介绍

柏拉图多面体，即一般意义上的正多面体（regular polyhedra），是指面为全等的正多边形、棱上的二面角相等的凸多面体，因柏拉图（Πλατών）及其追随者对它们所作的研究而得名。

柏拉图将这些多面体与元素相对应：

• 正四面体：火：令人感到刺痛
• 正六面体：土：可以被堆叠
• 正八面体：气：流畅（？）
• 正十二面体：代表天空，亚里士多德提出天空由以太组成
• 正二十面体：水：可以流动，类似小球

其后，开普勒曾提出这样的宇宙模型：水星轨道 | 正八面体 | 金星轨道 | 正二十面体 | 地球轨道 | 正十二面体 | 火星轨道 | 正四面体 | 木星轨道 | 正六面体 | 土星轨道，依次相切。

对偶

如果一个正多面体可以通过将其面的中心相连得到另一个正多面体，称它们对偶，则有正四面体与自身对偶，正六、八面体；正十二、二十面体对偶。

我们发现对偶是有对称性的。这是因为：旋转变换群如果保顶点集，那么也保面集。

正四面体的旋转变换群是 $A_4$，这在上一节中已讨论过。

正六面体的全部元素在上一节的「立方体染色Ⅱ」中亦讨论过。另一种方法看，将相对的顶点标作 $A$ 与 $A'$，$B, B'$，$C, C'$ 和 $D, D'$，则主对角线集合 $\{AA', BB', CC', DD'\}$ 在旋转下不变，有旋转变换群是 $S_4$ 的子群。旋转变换群就是 $S_4$

正十二面体复杂一些。我们去找它的顶点构成的立方体：取一组对棱及每个棱最近的四个点，八个点构成立方体的顶点。这样的立方体有 5 个，集合在旋转下不变，知旋转变换群是 $S_5$ 的子群。由于 $A_5$ 是单群，旋转变换群就是 $A_5$

可递

我们说某个东西可递，是指它在群作用下，每个元素的轨道都是整个集合。

点可递/面可递是指顶点集/面集在旋转变换群的作用下可递。

前述的正多面体定义等价于：是点可递且面可递的凸多面体。

对称

可以简单地根据每个顶点处至少 2 个面、一圈的角度和小于 360° 的原则枚举「面的边数，顶点汇聚的面数」二元组。所有可能情况是 $(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)$

不难发现每一个合法的二元组都对应一个合法的正多面体。这其实是必然的。我们构造出一个顶点的汇聚情况后，可以沿着棱移动实现，到达一个新的顶点，此时它只有两个面。由于是凸多面体，且二面角确定，此处的汇聚情况是唯一的。

不断作此操作，按照这样的原则：优先填满汇聚的面数最多的。经过有限次操作，可以得到完美拼合的正多面体。

上述的证明使用了许多依托于直观的论断，让我们换一种方式给出严格的证明：

我们来讨论 $SO(3)$ 的有限子群 $G$，设阶为 $n$

对 $G$ 中非平凡的旋转，称旋转轴与单位球的两个交点为极点，记极点集合 $P$。

$G$ 中旋转作用在 $P$ 上有封闭性，因为：对 $\sigma(p)=p, \tau(p)=q$ 有 $\tau\sigma\tau^{-1}q=q$，极点被旋转到极点。

考察 $G$ 在 $P$ 上的作用，设有 $k$ 个轨道 $Orb(p_i)$

由于 $Stab(p_i)$ 是绕着 $p_i$ 对应的轴的旋转，它是循环群。

考察二元组「非平凡的旋转，选择对应的极点」的数量，也就是可重的极点数量，进行算两次。

对旋转计数为 $2(n-1)$

对极点计数则为 $\sum (|Stab(p_i)|-1)|Orb(p_i)|=nk-\sum |Orb(p_i)|$

又因为 $|Stab(p_i)|\ge 2$，对这个等式分析得到所有 $(k; |Stab(p_1)|, |Stab(p_2)| \cdots |Stab(p_k)|; n)$ 情况为：

$(2; m, m; m)$，此时为 $n$ 阶循环群。

$(3; 2, 2, m; 2m)$：此时为 $2m$ 阶二面体群。

$(3; 2, 3, 3; 12)$：此时任一个点对应的另三点构成正三角形。为正四面体。

$(3; 2, 3, 4; 24)$：轨道长分别为 12，8，6，由于轨道数各不相同，一个旋转轴上的两个极点必在同一轨道上。考察长为 6 的轨道，稳定子群为 4 阶循环群。知形如正六/八面体。

$(3; 2, 3, 5; 60)$：同理可知形如正十二/二十面体。

Kepler-Poinsot 多面体

介绍

让我们暂时扩展一下正多面体的定义，允许自交多边形、面之间自交，那么可以额外得到四种正星体。它们是：

你可以在这里找到它们的图像。

对称

我们发现这些星体仍然满足点可递、面可递。

考察它的凸包（由保距，一定包含所有顶点），由于顶点处是等价的，凸包上顶点的情况也是等价的，因此顶点构成正多面体。

其中只有正十二、二十面体的顶点可以构造出有意义的星体，对应上文的构造方式Ⅱ。这比构造Ⅰ要易操作且本质。

Archimedes 多面体

介绍

半正多面体（uniform polyhedra）满足点可递而面不可递。

半正多面体一共有 13 种，其中 2 种有手性。

你可以在这里找到它们的图像。

对称

同样可以简单地说明，半正多面体有外接球且顶点的旋转变换群是 $SO(3)$ 的有限子群。

我们再从那些群中导出半正多面体。

• 循环群：无法导出。
• 二面体群：这导出的是正棱柱（prisms）及反棱柱（antiprisms）等，无法得到半正多面体。
• 四面体群：首先找到旋转中心，然后找到旋转下不变的轴。可以找到四根射线，它们相当于正四面体中四个中心到顶点的射线。对此框架产生的正四面体进行放缩，直到与目标半正多面体有交。此时一定是与四个面重合。
• 六/八面体群：同理，最外部与六/八面体重合。
• 十二/二十面体群：同理。

Catalan 多面体

介绍

Catalan 多面体满足面可递而点不可递。

对偶

Catalan 多面体可以从 Archimedes 多面体的对偶得到。

同样地，我们可以进行逆操作：找到旋转中心，然后对各个面作垂足。

Johnson 多面体

介绍

Johnson 多面体是指正多面体、半正多面体、棱柱、反棱柱之外，所有由正多边形面组成的凸多面体。

你可以在这里看到它们的图像。

理论上说，可以通过分析多面体对应的平面图来列举全部的 92 种。本文中无法展开讨论，可参阅：柯西刚性定理、Steinitz 定理等。