群论（一）：群在集合上的作用相关

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群在集合上的作用

群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上的作用是一个映射

$$ \begin{aligned} \varphi \colon &G \to (\Omega\to\Omega),\\ &x \mapsto (\alpha\mapsto\alpha^x) \end{aligned} $$

满足单位元对应恒等映射，且 $(\alpha^x)^y = \alpha^{xy}$

你或许可以找到不同形式，如

$$ \begin{aligned} f \colon &G\times S \to S,\\ &(g, s) \mapsto g(s) \end{aligned} $$

但前一种更直观一些。

显然有 $\varphi$ 是从 $G$ 到 $\Omega$ 上变换群的同态。

记集合元素 $\alpha$ 在这一关系下的等价类 $\{\alpha^x\mid x\in G\}$ 为其轨道 $Orb(\alpha)$；全体不变映射 $\{x\mid\alpha^x=\alpha\}$ 为其稳定化子 $Stab(\alpha)$

易知 $|Orb(\alpha)|=|G\colon Stab(\alpha)|$

例如，对于正四面体（记顶点 $\{A,B,C,D\}$），设其旋转变换群为 $G$，则：任取一个顶点，它对应的稳定子群阶为 3，轨道为 $\{A,B,C,D\}$，故而 $G$ 是 $S_4$ 的 12 阶子群，必然是 $A_4\cong V_4\oplus Z_3\cong Z_2\oplus Z_2\oplus Z_3$

Pólya 计数法

使用 Pólya 计数法是为了解决这样的问题：我们对所有的可能计数，并且将具有特定对称性的视作同一种（见下面的例子）。

其本质是对所有满足 $x^g = x$ 的数对的算两次。

对 $g$ 计数为 $\sum |Stab(g)| = \sum\frac{|G|}{|Orb(g)|} = |G|\cdot ans$

对 $x$ 计数则为 $\sum_{g\in G}|X(g)|$

易知对称群 $|G| = |Orb(x)|\cdot |Stab(x)| = 24$

集合 $\Omega$ 是六个面的染色状态构成的集合，作用 $\varphi$ 使得 $\varphi(g)$ 是进行 $g$ 对应的旋转操作。所求即它的轨道数。

$X(g)$ 只在单位元处取到 720，其余情况为空集。故所求为 30.

对 $G$ 中元素分类：

所求为 57.

共轭作用

共轭作用是在 $G$ 的集合上的作用：$\varphi(g) = (a\mapsto gag^{-1})$

记 $G$ 上 $\{x\}$ 的中心化子 $C_G(x)=\{a\mid xa=ax\}$，中心 $Z(G) = \{x\mid gx=xg (\forall g\in G)\}$

则 $x\in Z(G)\Leftrightarrow |Orb(x)|=1$

那么我们可以写出类方程：

$$|G| = |Z(G)| + \sum |G\colon C_G(y_i)|$$

其中 $y_i$ 的轨道阶不为 1

例如，对 $|G|=p^l$，所有的 $C_G(y_i)$ 都是真子群，从而 $p\mid |Z(G)|$

Sylow 定理

对有限群 $G$ 和素数 $p$ 使 $p^l\parallel |G|$，$G$ 的 $p^l$ 阶子群为其 Sylow p 子群。

只需讨论阶大于 $p$ 的非交换群，因为交换群一定可以分解为循环群的直积。¹

对 $|G|$ 归纳。

• 若 $p\mid Z(G)$，由于它是交换的，有 p 阶子群。考察它和对应的商群，使用归纳假设。
• 若 $p\nmid Z(G)$，由类方程，存在一个 $p\nmid Orb(y_i)$，有 $p^l\parallel C_G(y_i)$，使用归纳假设。

令 $\Omega$ 为 $P$ 的左陪集构成的集合，$|G|=p^lm$

对一个 $p^k$ 阶子群 $H$，考察 $H$ 在 $P$ 上的作用 $\varphi(h) = (aP\mapsto haP)$

有 $|Orb(aP)|\big| |H|$，且 $|\Omega|=\sum |Orb(aP)|\not\equiv 0\pmod{p}$

故至少一个 $|Orb(aP)|=1$

对应 $h\in aPa^{-1}$ 即 $H\subseteq aPa^{-1}$

称 $H$ 在 $G$ 中正规化子 $N_G(H) = \{G\mid gHg^{-1}=H\}$

则对 $G$ 的 Sylow p 子群 $P$，有 $P\unlhd N_G(P)\le G$

对 $G$ 的 Sylow p 子群 $Q\subseteq N_G(P)$，$P,Q$ 同为 $N_G(P)$ 的 Sylow p 子群，由第二定理知相互共轭。由 $P$ 为 $N_G(P)$ 的正规子群，$P=Q$

令 $\Omega$ 为 Sylow p 子群的集合，$P$ 在 $\Omega$ 上作用为共轭 $\varphi(g) = (Q\mapsto gQg^{-1})$

有 $|Orb(Q)|=1\Leftrightarrow Q=P$，其余整除 $|P|$

故 $r=\sum |Orb(Q)|\equiv 1\pmod{p}$

由第二定理知 $G$ 在 $\Omega$ 上的共轭作用使 $\Omega$ 成为轨道，$r=|\Omega|\big| |G|$，即 $r\mid m$

取 Sylow p 子群及 Sylow q 子群，由第三定理知个数均为 1，从而分别是正规的

易知 $PQ=G$，又由 $P\cap Q=\{e\}$，可知 $G\cong P\oplus Q\cong Z_p\oplus Z_q\cong Z_{pq}$

注释

• 将 $G$ 用自由群表示法表示为 $<g_1, g_2\cdots g_n\mid rules>$
• 由于是交换群，可以将一个规则（形如 $g_1 g_2^{-1} g_1^2$）任意交换顺序写成 $3x_1-x_2=0$ 的形式
• 所有的规则写成线性方程组，表示为 $$M \begin{pmatrix} g_1 \\ \vdots \\ g_n \end{pmatrix} = \mathbf{0}$$
• 由于我们在整数上操作，它是 Euclid 整环，可以将矩阵 $M$ 转化为 Smith 标准型
• 其因子给出了 $G$ 的分解