【草稿】范畴论（一）：代数结构的各种积

索引

前置知识

• 范畴论基本概念

引入

积的历史可以追溯到古代文明，随数学的发展，从自然数的积扩展到整数、有理数、实数、多项式的积，并且保持兼容性。这个过程是自然的。

代数结构的积以笛卡尔积为基础。对两个集合 $A$，$B$，有 $A\times B = \{(a, b)\mid a\in A, b\in B\}$

技术上，$(a, b)$ 被定义为 $\{\{a\}, \{a, b\}\}$

积与余积

除笛卡尔积之外，我们有无交并，技术上可以定义为 $A\coprod B = \{(0, a)\mid a\in A\}\cup \{(1, b)\mid b\in B\}$

同样地，抽象代数中有直积与直和，直和要求只要有限个分量不是单位元。

拓扑中，一族 $(X_i, \tau_i)$ 的积空间中的拓扑是使所有投影映射 $X\to X_i$ 连续的最粗拓扑。积拓扑的基可以由所有的 $\prod U_i, U_i\in\tau_i$ 其中只有有限个 $U_i\neq X_i$ 给出。

这些定义实际上体现了泛性质的不同。

对范畴 $\mathcal{C}$，称 $P$ 是一族 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的积，如果存在一族态射 $\pi_i\colon P\to X_i$ 使任一族态射 $\varphi_i\colon Y\to X_i$，存在唯一的 $\phi: Y\to P$ 使 $\pi_i\circ\phi=\varphi_i$

易知积在同构意义下是唯一的。

积的对偶是余积（或称上积，上的译法可能来自画图时的方向），即：称 $P$ 是一族 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的余积，如果存在一族态射 $\iota_i\colon X_i\to P$ 使任一族态射 $\varphi_i\colon X_i\to Y$，存在唯一的 $\phi: P\to B$ 使 $\phi\circ\iota_i=\varphi_i$

特别地，如果一族对象的积与余积相同，则称为双积。

读者可自行验证以下对应：

拉回与推出

在拓扑中，对一个拓扑空间 $B$，一个 $B$ 上的空间（或称 $B$-空间）是指拓扑空间 $X$ 和连续映射 $p:X\to B$，可以将它看成一族空间 $X_b=p^{-1}(b)$（称作点 $b$ 的纤维）。两个 $B$-空间的连续 $B$-映射是满足 $p'\circ f = p$ 的连续映射 $f: X\to X'$

对一族 $B$-空间 $(X_i, p_i)_{i\in I}$，称它们的纤维积是：

• 集合为 $\{(b, (x_i)_{i\in I})\mid p_i(x_i)=b, \forall i\in I\}$
• 拓扑为：

这对应的是拉回。

对于对象 $B, C, D$ 与态射 $B\to D, C\to D$，它们的拉回是对象 $A$ 及态射 $A\to B, A\to C$，满足泛性质：对另一组对象 $A'$ 及态射 $A'\to B, A'\to C$，存在唯一的态射 $A'\to A$ 使图表交换。

可以验证：一个集合的两个子集的拉回是它们的交。