【草稿】概率论反思

说明

本文旨在探讨两个问题：

• 概率论对现实的描述何以可能指导现实活动？
  • 统计出的、计算出的概率为何合理？
  • 提出合理的假设何以可能？
• 概率论能多大程度地描述现实？
  • 当我们掷一个骰子时，我们何时把它看作每面 1/6 概率朝下而忽略材质的不均匀、抛掷的手法、空气的流动？
  • 我们应如何掌握这种判断的“把握”？

本文主要基于 William Feller 所作的经典 An Introduction to Probability Theory and Its Application.

讨论的可能

第一个问题涉及了一个更基本的问题——认识论的问题。这不在本文讨论范围内。因此，希望读者认可：以某种方式，以概率论对现实的描述指导现实活动是可能的。为此，你或许可以采取以下选择：

• 盲信。时代、文化的变化已经塑造了（大部分时候）足以应对生活的直观认识。

  人类的集体直观能力也在进步着 … 同样，现在的学生不会体会到，当概率论还在萌芽的时候，它与某些思维方式、偏见及其他困难的斗争情形。

• 实用主义。概率论是一个（从经验上看/从权威上看/从自己对数学推导的认可上看）好用的模型。

  我们所关心的不是归纳推理的形态，而是一种可以叫作是物理概率或者统计概率的事物 … 我们所说的判断不是关于这些的判断，而是关于一个理想实验的可能结果 … 大家必须先承认一个特殊理想实验的想象模型。

• 其它可能的论证。如果你对形而上内容的了解可以支撑。

因此，让我们讨论它的两个子问题，并使用确定的方式列举事实。

从观察到理论 ¹

这一过程需要理想化。

硬币掉下时不一定是正面朝上或反面朝上，它可能是滚掉了，也可能是笔直地站着，但是我们只承认正面和反面是扔硬币以后仅有的可能结果，这样一来，理论要简洁得多了，同时也不影响其应用，这种类型的理想化是实践中标准的处理办法。测定原子的寿命或人的寿命而没有误差是不可能的，但是为了理论上的目的，我们不妨设想寿命是实实在在的一个数，这样问题就产生了：什么样的数值能确实地代表一个人的寿命？有没有生命不可逾越的最大年龄？是否一切年龄都是可以设想的呢？一方面，谁也不认为人能活到一千岁；另一方面，现行的保险业务对于人的可能寿命却不加任何上限，按照寿险死亡率表所基于的公式算出来，千年不死的人在全人类中大约只占 $10^{10^{36}}$ 分之一，$10^{10^{36}}$ 这个数共含有 $10^{28}$ 亿个零，这个结论从生物学或社会学的角度看来，固然是毫无意义的，但是单纯从统计上着眼，它和经验当然没有什么矛盾，因为一个世纪内出生的人数还不到 $10^{10}$。要想用统计方法来检验上述说法，就需要 $10^{10^{35}}$ 个世纪以上的时间，而这个时间段比地球的寿命的 $10^{10^{34}}$ 倍还要大得多，毫无疑问，这样小的概率和我们心目中的“不可能性”是没有什么矛盾的。你也许认为，这种小概率的使用本身就是荒谬绝伦的，其实不然，使用这种小概率非但没有坏处，而且还可以简化公式，再说，如果我们真地把活一千年的可能性排除掉，我们势必承认一个最大年龄限 $x$ 的存在，说人能活 $x$ 年而不能活 $x$ 年零两秒，这种说法决不会比无限寿命的说法更能讲得通些。

把实验或观察的结果称作事件。分为复合事件与简单事件。

直观上，简单事件是不可分解的。这里我们不把将“摸到黑球”拆成“今天在下雨并且摸到了黑球”和“今天不在下雨并且摸到了黑球”视作“分解”——我们约定简单事件是不作定义的。

一个不可分解的结果用样本点表示，其全体称为样本空间。

我们用集合的语言来描述样本空间，事件为样本点的集合。

公理化

与其它所有数学理论一样，概率论的公理化充满理想化的成分。

回顾 Kolmogorov 的公理化定义：

给定集合 $\Omega$，如果 $\mathfrak{F}\subset 2^\Omega$ 满足：

1. $\Omega\in\mathfrak{F}$
2. 取逆封闭：若 $A\in\mathfrak{F}$ 则

$$\bar{A}\in\mathfrak{F}$$

3. 可列并封闭：若 $\{A_n\}_{n\geq 1}\subset \mathfrak{F}$ 则

$$\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} A_n\in\mathfrak{F}$$

则称 $\mathfrak{F}$ 为 $\Omega$ 上的 σ-代数。

$\mathfrak{F}$ 上的概率 $P: 2^\Omega\to \mathbb{R}$ 满足

1. 非负：$P(A)\geq 0$
2. 规范性：
3. 可列可加性：对 $\{A_n\}_{n\geq 1}$ 两两不交

$$P(\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{+\infty} P(A_n)$$

离散样本空间

三门问题

频率学派和贝叶斯学派。